Albert Einstein sobre espaço-tempo

Geometria Euclidiana

Se considerarmos a geometria euclidiana, discernimos claramente que se refere às leis que regulam as posições dos corpos rígidos. Passa a considerar o engenhoso pensamento de rastrear todas as relações relativas aos corpos e suas posições relativas ao conceito muito simples de "distância" (Strecke). Distância denota um corpo rígido no qual dois pontos de material (marcas) foram especificados. O conceito de igualdade de distâncias (e ângulos) refere-se a experimentos envolvendo coincidências; as mesmas observações se aplicam aos teoremas da congruência. Agora, a geometria euclidiana, na forma em que nos foi transmitida a partir de Euclides, usa os conceitos fundamentais “linha reta” e “plano” que não parecem corresponder, ou de qualquer forma, não tão diretamente, a experiências relativa à posição dos corpos rígidos. Sobre isso, deve-se observar que o conceito de linha reta pode ser reduzido ao conceito de distância.¹ Além disso, os geométricos estavam menos preocupados em trazer à tona a relação de seus conceitos fundamentais do que em deduzir logicamente as proposições geométricas de alguns axiomas enunciados no início.

Vamos esboçar brevemente como talvez a base da geometria euclidiana possa ser obtida a partir do conceito de distância.

Partimos da igualdade de distâncias (axioma da igualdade de distâncias). Suponha que, de duas distâncias desiguais, uma seja sempre maior que a outra. Os mesmos axiomas são válidos para a desigualdade de distâncias e válidos para a desigualdade de números.

Três distâncias AB ¹, BC ¹, CA ¹ podem, se CA ¹ for adequadamente escolhido, ter suas marcas BB ¹, CC ¹, AA ¹ sobrepostas uma à outra de tal maneira que um triângulo ABC resulte. A distância CA ¹ tem um limite superior para o qual essa construção ainda é apenas possível. Os pontos A, (BB ') e C ficam então em uma “linha reta” (definição). Isso leva aos conceitos: produzir uma distância em uma quantidade igual a si mesma; dividindo uma distância em partes iguais; expressar uma distância em termos de número por meio de uma haste de medição (definição do intervalo de espaço entre dois pontos).

Quando o conceito de intervalo entre dois pontos ou o comprimento de uma distância é obtido dessa maneira, exigimos apenas o seguinte axioma (teorema de Pitágoras) para chegar à geometria euclidiana analiticamente.

Para cada ponto do espaço (corpo de referência), três números (coordenadas) x, y, z podem ser atribuídos - e inversamente - de maneira que, para cada par de pontos A (x ₁, y ₁, z ₁) e B (x ₂, y ₂, z ₂) o teorema contém:

número da medida AB = raiz quadrada {(x ₂ - x ₁) ² + (y ₂ - y ₁) ² + (z ₂ - z ₁) ² }.

Todos os conceitos e proposições adicionais da geometria euclidiana podem ser construídos puramente logicamente nessa base, em particular também as proposições sobre a linha reta e o plano.

Naturalmente, essas observações não pretendem substituir a construção estritamente axiomática da geometria euclidiana. Desejamos apenas indicar de maneira plausível como todas as concepções de geometria podem ser rastreadas até a distância. Poderíamos igualmente resumir toda a base da geometria euclidiana no último teorema acima. A relação com os fundamentos da experiência seria então fornecida por meio de um teorema suplementar.

A coordenada pode e deve ser escolhida de modo que dois pares de pontos separados por intervalos iguais, calculados com a ajuda do teorema de Pitágoras, possam coincidir com uma e a mesma distância adequadamente escolhida (em um sólido).

Os conceitos e proposições da geometria euclidiana podem ser derivados da proposição de Pitágoras sem a introdução de corpos rígidos; mas esses conceitos e proposições não teriam então conteúdo que pudesse ser testado. Não são proposições "verdadeiras", mas apenas proposições logicamente corretas de conteúdo puramente formal.