Hipótese de Riemann, na teoria dos números, hipótese do matemático alemão Bernhard Riemann sobre a localização de soluções para a função zie de Riemann, que está conectada ao teorema do número primo e tem implicações importantes para a distribuição dos números primos. Riemann incluiu a hipótese em um artigo, “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” (“Sobre o número de números primos abaixo de uma determinada quantidade”), publicado na edição de novembro de 1859 da Monatsberichte der Berliner Akademie (“Revisão mensal da Academia de Berlim ").
A função zeta é definida como a série infinita ζ (s) = 1 + 2 − s + 3 − s + 4 − s + ⋯ ou, em notação mais compacta, , onde a soma (Σ) dos termos para n varia de 1 ao infinito através dos números inteiros positivos es é um número inteiro positivo fixo maior que 1. A função zeta foi estudada pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no século XVIII. (Por esse motivo, às vezes é chamada de função de Euler zeta. Para ζ (1), essa série é simplesmente a série harmônica, conhecida desde a antiguidade que aumenta sem limites - ou seja, sua soma é infinita.) Euler alcançou fama instantânea quando provou em 1735 que ζ (2) = π 2 /6, um problema que havia escapado dos maiores matemáticos da época, incluindo a família suíço Bernoulli (Jakob, Johann, e Daniel). De maneira mais geral, Euler descobriu (1739) uma relação entre o valor da função zeta para números pares e os números de Bernoulli, que são os coeficientes na expansão da série Taylor de x / (e x - 1). (Veja também função exponencial.) Ainda mais surpreendente, em 1737, Euler descobriu uma fórmula relacionando a função zeta, que envolve somar uma sequência infinita de termos contendo os números inteiros positivos e um produto infinito que envolve todos os números primos:
Riemann estendeu o estudo da função zeta para incluir os números complexos x + iy, onde i = raiz quadrada de√ − 1, exceto pela linha x = 1 no plano complexo. Riemann sabia que a função zeta é igual a zero para todos os números pares negativos -2, -4, -6,
(chamados zeros triviais) e que possui um número infinito de zeros na faixa crítica de números complexos que se enquadram estritamente entre as linhas x = 0 ex = 1. Ele também sabia que todos os zeros não triviais são simétricos em relação ao linha crítica x = 1 / 2. Riemann conjeturou que todos os zeros não triviais estão na linha crítica, uma conjectura que posteriormente se tornou conhecida como hipótese de Riemann.
Em 1914 Inglês matemático Godfrey Harold Hardy provou que um número infinito de soluções de ζ (s) = 0 existir na linha crítica x = 1 / 2. Posteriormente, foi demonstrado por vários matemáticos que uma grande proporção das soluções deve estar na linha crítica, embora as frequentes "provas" de que todas as soluções não triviais estejam nela tenham sido falhas. Os computadores também foram usados para testar soluções, com as primeiras 10 trilhões de soluções não triviais mostradas na linha crítica.
Uma prova da hipótese de Riemann teria conseqüências de longo alcance para a teoria dos números e para o uso de números primos na criptografia.
A hipótese de Riemann é considerada o maior problema não resolvido da matemática. Foi um dos 10 problemas matemáticos não resolvidos (23 no endereço impresso) apresentados como um desafio para os matemáticos do século XX pelo matemático alemão David Hilbert no Segundo Congresso Internacional de Matemática em Paris em 8 de agosto de 1900. Em 2000, o matemático americano Stephen Smale atualizou a ideia de Hilbert com uma lista de problemas importantes para o século XXI; a hipótese de Riemann era a número um. Em 2000, foi designado um Problema do Milênio, um dos sete problemas matemáticos selecionados pelo Clay Mathematics Institute de Cambridge, Massachusetts, EUA, para um prêmio especial. A solução para cada problema do milênio vale US $ 1 milhão. Em 2008, a Agência de Projetos de Pesquisa Avançada de Defesa dos EUA (DARPA) a listou como um dos Desafios Matemáticos da DARPA, 23 problemas matemáticos para os quais estava solicitando propostas de pesquisa para financiamento - “Desafio Matemático Dezenove: Resolva a Hipótese de Riemann. O Santo Graal da teoria dos números.
