Kurt Gödel, Gödel também escreveu Goedel (nascido em 28 de abril de 1906, Brünn, Áustria-Hungria [atual Brno, República Tcheca]) - morreu em 14 de janeiro de 1978 em Princeton, NJ, EUA, matemático de origem austríaca, lógico e filósofo que obteve o que pode ser o resultado matemático mais importante do século XX: seu famoso teorema da incompletude, que afirma que em qualquer sistema matemático axiomático existem proposições que não podem ser provadas ou refutadas com base nos axiomas desse sistema; portanto, esse sistema não pode ser simultaneamente completo e consistente. Essa prova estabeleceu Gödel como um dos maiores lógicos desde Aristóteles, e suas repercussões continuam sendo sentidas e debatidas hoje.
fundamentos da matemática: Gödel
Implícita no programa de Hilbert havia a esperança de que a noção sintática de provabilidade capturasse a noção semântica da verdade. Gödel
Início da vida e carreira
Gödel sofreu vários períodos de problemas de saúde quando criança, após um ataque aos 6 anos de idade com febre reumática, o que o deixou com medo de ter algum problema cardíaco residual. Sua preocupação permanente com sua saúde pode ter contribuído para sua eventual paranóia, que incluía limpar obsessivamente seus utensílios de cozinha e se preocupar com a pureza de sua comida.
Como um austríaco de língua alemã, Gödel de repente se viu morando no país recém-formado da Tchecoslováquia, quando o Império Austro-Húngaro foi rompido no final da Primeira Guerra Mundial em 1918. Seis anos depois, porém, ele foi estudar na Áustria., na Universidade de Viena, onde obteve seu doutorado em matemática em 1929. Entrou para o corpo docente da Universidade de Viena no ano seguinte.
Durante esse período, Viena foi um dos centros intelectuais do mundo. Era o lar do famoso Círculo de Viena, um grupo de cientistas, matemáticos e filósofos que apoiavam a visão naturalista, fortemente empirista e antimetafísica, conhecida como positivismo lógico. O consultor de dissertação de Gödel, Hans Hahn, foi um dos líderes do Círculo de Viena e apresentou sua estrela ao grupo. No entanto, as próprias visões filosóficas de Gödel não poderiam ter sido mais diferentes daquelas dos positivistas. Ele subscreveu o platonismo, o teísmo e o dualismo mente-corpo. Além disso, ele também era um pouco mentalmente instável e sujeito a paranóia - um problema que piorava à medida que envelhecia. Assim, seu contato com os membros do Círculo de Viena o deixou com a sensação de que o século XX era hostil às suas idéias.
Teoremas de Gödel
Em sua tese de doutorado, "Über die Vollständigkeit des Logikkalküls" ("Sobre a completude do cálculo da lógica"), publicado em uma forma ligeiramente abreviada em 1930, Gödel provou ser um dos resultados lógicos mais importantes do século - de fato, o tempo todo - ou seja, o teorema da completude, que estabeleceu que a lógica clássica de primeira ordem, ou cálculo de predicados, é completa no sentido de que todas as verdades lógicas de primeira ordem podem ser provadas em sistemas padrão de prova de primeira ordem.
Isso, no entanto, não foi nada comparado ao que Gödel publicou em 1931 - ou seja, o teorema da incompletude: "Über formal unischeidare sätze der Principia Mathematica and vwandter Systeme" ("Sobre propostas formalmente indecidíveis de Principia Mathematica e sistemas relacionados"). Grosso modo, esse teorema estabeleceu o resultado de que é impossível usar o método axiomático para construir uma teoria matemática, em qualquer ramo da matemática, que implique todas as verdades nesse ramo da matemática. (Na Inglaterra, Alfred North Whitehead e Bertrand Russell haviam passado anos nesse programa, que publicaram como Principia Mathematica em três volumes em 1910, 1912 e 1913.) Por exemplo, é impossível chegar a uma teoria matemática axiomática que captura até todas as verdades sobre os números naturais (0, 1, 2, 3,
) Esse foi um resultado negativo extremamente importante, pois antes de 1931 muitos matemáticos estavam tentando fazer exatamente isso - construir sistemas de axiomas que poderiam ser usados para provar todas as verdades matemáticas. De fato, vários lógicos e matemáticos conhecidos (por exemplo, Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) gastaram partes significativas de suas carreiras nesse projeto. Infelizmente para eles, o teorema de Gödel destruiu todo esse programa axiomático de pesquisa.
Estrelato internacional e mudança para os Estados Unidos
Após a publicação do teorema da incompletude, Gödel tornou-se uma figura intelectual conhecida internacionalmente. Ele viajou para os Estados Unidos várias vezes e lecionou extensivamente na Universidade de Princeton, em Nova Jersey, onde conheceu Albert Einstein. Este foi o começo de uma amizade íntima que duraria até a morte de Einstein em 1955.
No entanto, foi também durante esse período que a saúde mental de Gödel começou a se deteriorar. Sofreu crises de depressão e, após o assassinato de Moritz Schlick, um dos líderes do Círculo de Viena, por um estudante perturbado, Gödel sofreu um colapso nervoso. Nos próximos anos, ele sofreu vários outros.
Depois que a Alemanha nazista anexou a Áustria em 12 de março de 1938, Gödel se viu em uma situação bastante embaraçosa, em parte porque ele tinha uma longa história de associações íntimas com vários membros judeus do Círculo de Viena (de fato, ele havia sido atacado nas ruas de Viena por jovens que pensavam que ele era judeu) e em parte porque de repente corria o risco de ser recrutado pelo exército alemão. Em 20 de setembro de 1938, Gödel se casou com Adele Nimbursky (née Porkert) e, quando a Segunda Guerra Mundial estourou um ano depois, ele fugiu da Europa com sua esposa, tomando a ferrovia transiberiana pela Ásia, navegando pelo Oceano Pacífico, e depois pegando outro trem pelos Estados Unidos para Princeton, NJ, onde, com a ajuda de Einstein, assumiu uma posição no recém-formado Instituto de Estudos Avançados (IAS). Ele passou o resto de sua vida trabalhando e ensinando no IAS, do qual se aposentou em 1976. Gödel tornou-se cidadão dos EUA em 1948. (Einstein compareceu à audiência porque o comportamento de Gödel era bastante imprevisível e Einstein temia que Gödel sabotasse sua próprio caso).
Em 1940, apenas meses depois de chegar a Princeton, Gödel publicou outro artigo matemático clássico: "Consistência do axioma da escolha e da hipótese-contínua generalizada com os axiomas da teoria dos conjuntos", que provavam que o axioma da escolha e o continuum As hipóteses são consistentes com os axiomas padrão (como os axiomas de Zermelo-Fraenkel) da teoria dos conjuntos. Isso estabeleceu metade de uma conjectura de Gödel - a saber, que a hipótese do continuum não poderia ser provada verdadeira ou falsa em teorias de conjuntos padrão. A prova de Gödel mostrou que não podia ser provado falso nessas teorias. Em 1963, o matemático americano Paul Cohen demonstrou que também não podia ser provado verdade nessas teorias, justificando a conjectura de Gödel.
Em 1949, Gödel também fez uma importante contribuição para a física, mostrando que a teoria da relatividade geral de Einstein permite a possibilidade de viajar no tempo.
