János Bolyai (nascido em 15 de dezembro de 1802, Kolozsvár, Hungria [agora Cluj, Romênia] - morreu em 27 de janeiro de 1860, Marosvásárhely, Hungria [agora Târgu Mureş, Romênia]), matemático húngaro e um dos fundadores da geometria não-euclidiana - uma geometria que difere da geometria euclidiana na definição de linhas paralelas. A descoberta de uma geometria alternativa consistente que possa corresponder à estrutura do universo ajudou a libertar matemáticos para estudar conceitos abstratos, independentemente de qualquer conexão possível com o mundo físico.
Aos 13 anos, Bolyai havia dominado o cálculo e a mecânica analítica sob a tutela de seu pai, o matemático Farkas Bolyai. Ele também se tornou um violinista talentoso em tenra idade e mais tarde foi reconhecido como um excelente espadachim. Ele estudou no Royal Engineering College em Viena (1818 a 1822) e serviu no corpo de engenharia do exército (1822 a 1833).
A preocupação do ancião Bolyai em provar o axioma paralelo de Euclides infectou seu filho e, apesar dos avisos de seu pai, János persistiu em sua própria busca por uma solução. No início da década de 1820, ele concluiu que uma prova era provavelmente impossível e começou a desenvolver uma geometria que não dependia do axioma de Euclides. Em 1831, ele publicou o “Apêndice Scientiam Spatii Absolute Veram Exhibens” (“Apêndice Explicando a Ciência Absoluta e Verdadeira do Espaço”), um sistema completo e consistente de geometria não euclidiana como um apêndice ao livro de geometria de seu pai, Tentamen Juventutem Studiosam na Elementa. Matheseos Purae Introducendi (1832; "Uma tentativa de introduzir a juventude estudiosa nos elementos da matemática pura").
Uma cópia deste trabalho foi enviada a Carl Friedrich Gauss, na Alemanha, que respondeu que havia descoberto os principais resultados alguns anos antes. Foi um golpe profundo em Bolyai, embora Gauss não tivesse nenhuma reivindicação de prioridade, pois nunca havia publicado suas descobertas. O ensaio de Bolyai passou despercebido por outros matemáticos. Em 1848, ele descobriu que Nikolay Ivanovich Lobachevsky havia publicado uma conta praticamente da mesma geometria em 1829.
Embora Bolyai tenha continuado seus estudos matemáticos, a importância de seu trabalho não foi reconhecida em sua vida. Além de trabalhar em sua geometria não-euclidiana, ele desenvolveu um conceito geométrico de números complexos como pares ordenados de números reais.
