História da análise
Os gregos encontram magnitudes contínuas
A análise consiste nas partes da matemática em que a mudança contínua é importante. Isso inclui o estudo do movimento e a geometria de curvas e superfícies suaves - em particular, o cálculo de tangentes, áreas e volumes. Os matemáticos gregos antigos fizeram grandes progressos tanto na teoria quanto na prática da análise. A teoria lhes impôs cerca de 500 aC pela descoberta pitagórica de magnitudes irracionais e cerca de 450 aC pelos paradoxos de movimento de Zenão.
Os pitagóricos e números irracionais
Inicialmente, os pitagóricos acreditavam que todas as coisas podiam ser medidas pelos números naturais discretos (1, 2, 3,
) e suas proporções (frações comuns ou números racionais). Essa crença foi abalada, no entanto, pela descoberta de que a diagonal de um quadrado unitário (isto é, um quadrado cujos lados têm um comprimento de 1) não pode ser expressa como um número racional. Essa descoberta foi provocada pelo próprio teorema de Pitágoras, que estabeleceu que o quadrado na hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados - na notação moderna, c 2 = a 2 + b 2. Em um quadrado unitário, a diagonal é a hipotenusa de um triângulo retângulo, com os lados a = b = 1; portanto, sua medida é a raiz quadrada de√2 - um número irracional. Contra suas próprias intenções, os pitagóricos haviam demonstrado que números racionais não eram suficientes para medir objetos geométricos simples. (Veja Barra Lateral: Incomensuráveis.) A reação deles foi criar uma aritmética de segmentos de linha, conforme encontrado no Livro II dos Elementos de Euclides (c. 300 aC), que incluía uma interpretação geométrica de números racionais. Para os gregos, os segmentos de linha eram mais gerais que os números, porque incluíam magnitudes contínuas e discretas.
De fato, a raiz quadrada de√2 pode ser relacionada aos números racionais apenas através de um processo infinito. Isso foi realizado por Euclides, que estudou a aritmética de números racionais e segmentos de linha. Seu famoso algoritmo euclidiano, quando aplicado a um par de números naturais, leva um número finito de etapas ao seu maior divisor comum. No entanto, quando aplicado a um par de segmentos de linha com uma razão irracional, como Raiz quadrada de√2 e 1, ele falha ao finalizar. Euclid até usou essa propriedade de não-término como critério de irracionalidade. Assim, a irracionalidade desafiou o conceito grego de número, forçando-os a lidar com processos infinitos.
Os paradoxos de Zenão e o conceito de movimento
Assim como a raiz quadrada de√2 era um desafio ao conceito de número dos gregos, os paradoxos de Zenão eram um desafio ao seu conceito de movimento. Em sua Física (c. 350 aC), Aristóteles citou Zenão dizendo:
Não há movimento, porque o que é movido deve chegar ao meio [do percurso] antes de chegar ao fim.
Os argumentos de Zenão são conhecidos apenas por Aristóteles, que os citou principalmente para refutá-los. Presumivelmente, Zenão queria dizer que, para chegar a algum lugar, é preciso primeiro ir a meio caminho e antes desse quarto e antes desse oitavo caminho e assim por diante. Como esse processo de reduzir pela metade as distâncias continuaria até o infinito (um conceito que os gregos não aceitariam como possível), Zenão alegou "provar" que a realidade consiste em um ser imutável. Ainda assim, apesar da aversão ao infinito, os gregos descobriram que o conceito era indispensável na matemática das magnitudes contínuas. Então, eles raciocinaram sobre o infinito o mais finamente possível, em uma estrutura lógica chamada teoria das proporções e usando o método da exaustão.
A teoria das proporções foi criada por Eudoxus por volta de 350 aC e preservada no Livro V dos Elementos de Euclides. Estabeleceu uma relação exata entre magnitudes racionais e magnitudes arbitrárias, definindo duas magnitudes como iguais se as magnitudes racionais inferiores a elas fossem iguais. Em outras palavras, duas magnitudes eram diferentes apenas se houvesse uma magnitude racional estritamente entre elas. Essa definição serviu aos matemáticos por dois milênios e abriu o caminho para a aritmetização da análise no século XIX, na qual números arbitrários eram rigorosamente definidos em termos dos números racionais. A teoria das proporções foi o primeiro tratamento rigoroso do conceito de limites, uma idéia que está no centro da análise moderna. Em termos modernos, a teoria de Eudoxus definia magnitudes arbitrárias como limites de magnitudes racionais, e os teoremas básicos sobre a soma, diferença e produto das magnitudes eram equivalentes aos teoremas sobre a soma, diferença e produto dos limites.
