Problema de Sturm-Liouville, ou problema de autovalor, em matemática, uma certa classe de equações diferenciais parciais (PDEs) sujeitas a restrições extras, conhecidas como valores-limite, nas soluções. Tais equações são comuns na física clássica (por exemplo, condução térmica) e na mecânica quântica (por exemplo, equação de Schrödinger) para descrever processos em que algum valor externo (valor limite) é mantido constante enquanto o sistema de interesse transmite alguma forma de energia.
Em meados da década de 1830, os matemáticos franceses Charles-François Sturm e Joseph Liouville trabalharam independentemente no problema de condução de calor através de uma barra de metal, desenvolvendo técnicas para resolver uma grande classe de PDEs, sendo as mais simples sob a forma de p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 onde y é alguma quantidade física (ou a função de onda mecânica quântica) e λ é um parâmetro ou valor próprio que restringe a equação de modo que que y satisfaz os valores de limite nos pontos finais do intervalo em que a variável x varia. Se as funções p, q e r satisfizerem condições adequadas, a equação terá uma família de soluções, chamadas funções próprias, correspondentes às soluções de valores próprios.
Para o caso não homogêneo mais complicado em que o lado direito da equação acima é uma função, f (x), em vez de zero, os valores próprios da equação homogênea correspondente podem ser comparados com os valores próprios da equação original. Se esses valores forem diferentes, o problema terá uma solução exclusiva. Por outro lado, se um desses valores próprios corresponder, o problema não terá solução ou toda uma família de soluções, dependendo das propriedades da função f (x).
