Função Riemann zeta, função útil na teoria dos números para investigar propriedades de números primos. Escrito como ζ (x), foi originalmente definido como a série infinitaζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Quando x = 1, essa série é chamada de série harmônica, que aumenta sem limites - ou seja, sua soma é infinita. Para valores de x maiores que 1, a série converge para um número finito à medida que termos sucessivos são adicionados. Se x for menor que 1, a soma será novamente infinita. A função zeta era conhecida pelo matemático suíço Leonhard Euler em 1737, mas foi primeiramente estudada extensivamente pelo matemático alemão Bernhard Riemann.
Em 1859, Riemann publicou um artigo fornecendo uma fórmula explícita para o número de números primos até qualquer limite pré-atribuído - uma melhoria decidida sobre o valor aproximado dado pelo teorema do número primo. No entanto, a fórmula de Riemann dependia do conhecimento dos valores nos quais uma versão generalizada da função zeta é igual a zero. (A função zeta de Riemann é definida para todos os números complexos - números da forma x + iy, em que i = raiz quadrada de√ − 1 - exceto para a linha x = 1.) Riemann sabia que a função é igual a zero para todos os pares negativos. números inteiros −2, −4, −6,
(chamados zeros triviais), e que possui um número infinito de zeros na faixa crítica de números complexos entre as linhas x = 0 ex = 1, e ele também sabia que todos os zeros não triviais são simétricos em relação ao crítico A linha x = 1 / 2. Riemann conjeturou que todos os zeros não triviais estão na linha crítica, uma conjectura que posteriormente se tornou conhecida como hipótese de Riemann.
Em 1900, o matemático alemão David Hilbert chamou a hipótese de Riemann de uma das questões mais importantes em toda a matemática, como indicado por sua inclusão em sua lista influente de 23 problemas não resolvidos com os quais desafiou os matemáticos do século XX. Em 1915, o matemático inglês Godfrey Hardy provou que um número infinito de zeros ocorre na linha crítica e, em 1986, os primeiros 1.500.000.001 zeros não triviais estavam todos na linha crítica. Embora a hipótese ainda possa se revelar falsa, as investigações desse difícil problema enriqueceram a compreensão de números complexos.
