Permutações e combinações de matemática

Permutações e combinações, as várias maneiras pelas quais os objetos de um conjunto podem ser selecionados, geralmente sem substituição, para formar subconjuntos. Essa seleção de subconjuntos é chamada permutação quando a ordem de seleção é um fator, uma combinação quando a ordem não é um fator. Considerando a proporção entre o número de subconjuntos desejados e o número de todos os subconjuntos possíveis para muitos jogos de azar no século XVII, os matemáticos franceses Blaise Pascal e Pierre de Fermat deram ímpeto ao desenvolvimento da teoria combinatória e da probabilidade.

combinatória: Coeficientes binomiais

n objetos é chamado de permutação de n coisas tomadas r de cada vez. O número de permutações é

Os conceitos e as diferenças entre permutações e combinações podem ser ilustrados pelo exame de todas as diferentes maneiras pelas quais um par de objetos pode ser selecionado dentre cinco objetos distinguíveis - como as letras A, B, C, D e E. as letras selecionadas e a ordem de seleção são consideradas, são possíveis os seguintes 20 resultados:

Cada uma dessas 20 diferentes seleções possíveis é chamada de permutação. Em particular, eles são chamados as permutações de cinco objetos tomados dois de cada vez, e o número de tais permutações possíveis é denotada pelo símbolo ₅ P ₂, leia “5 permute 2.” Em geral, se houver n objetos disponíveis para seleção e permutações (P) devem ser formadas usando k dos objetos por vez, o número de permutações diferentes possíveis é indicado pelo símbolo _n P _k. Uma fórmula para sua avaliação é _n P _k = n! / (N - k)! A expressão n! - leia “n fatorial” - indica que todos os números inteiros positivos consecutivos de 1 até e incluindo n devem ser multiplicados juntos, e 0! é definido como igual a 1. Por exemplo, usando esta fórmula, o número de permutações de cinco objetos tomados dois de cada vez é

(Para k = n, _n P _k = n! Assim, para 5 objetos, existem 5! = 120 arranjos.)

Para combinações, k objetos são selecionados de um conjunto de n objetos para produzir subconjuntos sem ordenar. Contrastando o exemplo de permutação anterior com a combinação correspondente, os subconjuntos AB e BA não são mais seleções distintas; Ao eliminar esses casos, restam apenas 10 subconjuntos possíveis diferentes - AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE e DE.

O número de tais subconjuntos é indicado por _n C _k, leia "n escolha k". Para combinações, já que k objetos têm k! arranjos, existem k! permutações indistinguíveis para cada escolha de k objetos; portanto, dividindo a fórmula de permutação por k! produz a seguinte fórmula de combinação:

É o mesmo que o coeficiente binomial (n, k) (consulte o teorema binomial). Por exemplo, o número de combinações de cinco objetos capturados dois de cada vez é

As fórmulas para _n P _k e _n C _k são denominadas fórmulas de contagem, pois podem ser usadas para contar o número de permutações ou combinações possíveis em uma determinada situação sem precisar listar todas elas.