Fundamentos da matemática

Teoria das categorias

Abstração em matemática

Uma tendência recente no desenvolvimento da matemática tem sido o processo gradual de abstração. O matemático norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829) provou que as equações do quinto grau não podem, em geral, ser resolvidas por radicais. O matemático francês Évariste Galois (1811-1832), motivado em parte pelo trabalho de Abel, introduziu certos grupos de permutações para determinar as condições necessárias para que uma equação polinomial seja solucionável. Esses grupos concretos logo deram origem a grupos abstratos, que foram descritos axiomaticamente. Depois, percebeu-se que, para estudar os grupos, era necessário observar a relação entre diferentes grupos - em particular, os homomorfismos que mapeiam um grupo em outro, preservando as operações do grupo. Assim, as pessoas começaram a estudar o que hoje é chamado de categoria concreta de grupos, cujos objetos são grupos e cujas flechas são homomorfismos. Não demorou muito para que categorias concretas fossem substituídas por categorias abstratas, novamente descritas axiomaticamente.

A noção importante de uma categoria foi introduzida por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane no final da Segunda Guerra Mundial. Essas categorias modernas devem ser distinguidas das categorias de Aristóteles, que são melhor chamadas de tipos no contexto atual. Uma categoria possui não apenas objetos, mas também setas (também conhecidas como morfismos, transformações ou mapeamentos) entre eles.

Muitas categorias têm como conjuntos de objetos dotados de alguma estrutura e setas, que preservam essa estrutura. Assim, existem as categorias de conjuntos (com estrutura vazia) e mapeamentos, de grupos e homomorfismos de grupos, de anéis e homomorfismos de anéis, de espaços vetoriais e transformações lineares, de espaços topológicos e mapeamentos contínuos, e assim por diante. Existe ainda, em um nível ainda mais abstrato, a categoria de (pequenas) categorias e functores, como são chamados os morfismos entre categorias, que preservam as relações entre os objetos e as flechas.

Nem todas as categorias podem ser visualizadas dessa maneira concreta. Por exemplo, as fórmulas de um sistema dedutivo podem ser vistas como objetos de uma categoria cujas setas f: A → B são deduções de B de A. Na verdade, esse ponto de vista é importante na ciência da computação teórica, onde se pensa em fórmulas. como tipos e deduções como operações.

Mais formalmente, uma categoria consiste em (1) uma coleção de objetos A, B, C,…, (2) para cada par ordenado de objetos na coleção, uma coleção associada de transformações, incluindo a identidade I _A ∶ A → A, e (3) uma lei de composição associada para cada triplo ordenado de objetos na categoria, de modo que, para f ∶ A → B e g ∶ B → C, a composição gf (ou g ○ f) é uma transformação de A para C - ou seja, gf ∶ A → C. Além disso, a lei associativa e as identidades devem ser mantidas (onde as composições são definidos) -ie, h (gf) = (hg) f e 1 _B f = f = f 1 _Uma.

Em certo sentido, os objetos de uma categoria abstrata não têm janelas, como as mônadas de Leibniz. Para inferir o interior de um objeto A, basta olhar para todas as setas de outros objetos para A. Por exemplo, na categoria de conjuntos, os elementos de um conjunto A podem ser representados por setas de um conjunto típico de um elemento em A. da mesma forma, na categoria de pequenas categorias, se uma é a categoria com um objecto e não há setas nonidentity, os objectos de uma categoria a podem ser identificados com os functors 1 → a. Além disso, se dois é a categoria com dois objectos e uma seta não identidade, as setas de A podem ser identificados com os functors 2 → A.

Estruturas isomórficas

Uma seta F: Um → B é chamado um isomorfismo se houver uma seta g: B → Um inversa para f, isto é, de tal modo que g ○ f = 1 _A e f ○ g = 1 _B. Isso está escrito A ≅ B, e A e B são chamados isomórficos, o que significa que eles têm essencialmente a mesma estrutura e que não há necessidade de distinguir entre eles. Na medida em que as entidades matemáticas são objetos de categorias, elas são atribuídas apenas ao isomorfismo. Suas construções teóricas tradicionais, além de servirem a um propósito útil em mostrar consistência, são realmente irrelevantes.

Por exemplo, na construção usual do anel de números inteiros, um número inteiro é definido como uma classe de equivalência de pares (m, n) de números naturais, onde (m, n) é equivalente a (m ′, n ′) se e somente se m + n ′ = m ′ + n. A idéia é que a classe de equivalência de (m, n) seja vista como m - n. O que é importante para um categorista, no entanto, é que o anel ℤ de números inteiros é um objeto inicial na categoria de anéis e homomorfismos - isto é, para cada anel ℝ existe um homomorfismo único ℤ → ℝ. Visto dessa maneira, given é dado apenas ao isomorfismo. No mesmo espírito, não se deve dizer que ℤ está contido no campo ℚ de números racionais, mas apenas que o homomorfismo ℤ → ℚ é um a um. Da mesma forma, não faz sentido falar da interseção teórica de conjuntos de π e da raiz quadrada de√-1, se ambos forem expressos como conjuntos de conjuntos de conjuntos (ad infinitum).

De especial interesse nas fundações e em outros lugares são funcionais adjuntos (F, G). Estes são pares de functores entre duas categorias ? e ℬ, que vão em direções opostas, de forma que exista uma correspondência um entre um entre o conjunto de setas F (A) → B em ℬ e o conjunto de setas A → G (B) em ? - ou seja, de modo que os conjuntos sejam isomórficos.