Quadratura do Lune

Hipócrates de Quíos (fl. C. 460 aC) demonstrou que as áreas em forma de lua entre arcos circulares, conhecidas como lunas, podiam ser expressas exatamente como uma área retilínea ou quadratura. No caso simples a seguir, duas lunas desenvolvidas ao redor dos lados de um triângulo retângulo têm uma área combinada igual à do triângulo.

1. Começando com o ΔABC direito, desenhe um círculo cujo diâmetro coincida com AB (lado c), a hipotenusa. Como qualquer triângulo retângulo desenhado com o diâmetro de um círculo para sua hipotenusa deve ser inscrito dentro do círculo, C deve estar no círculo.

2. Desenhe semicírculos com os diâmetros AC (lado b) e BC (lado a) como na figura.

3. Rotule os lunas resultantes L ₁ e L ₂ e os segmentos resultantes S ₁ e S ₂, conforme indicado na figura.

4. Agora, a soma dos lunes (L ₁ e L ₂) deve ser igual à soma dos semicírculos (L ₁ + S ₁ e L ₂ + S ₂) que os contêm menos os dois segmentos (S ₁ e S ₂). Assim, L ₁ + L ₂ = ^π / ₂ (^b / ₂) ² - S ₁ + ^π / ₂ (^a / ₂) ² - S ₂ (uma vez que a área de um círculo é π vezes o quadrado do raio).

5. A soma dos segmentos (S ₁ e S ₂) é igual à área do semicírculo com base em AB menos a área do triângulo. Assim, S ₁ + S ₂ = ^π / ₂ (^C / ₂) ² - ΔABC.

6. Substituindo a expressão na etapa 5 na etapa 4 e fatorando termos comuns, L ₁ + L ₂ = ^π / ₈ (a ² + b ² - c ²) + ΔABC.

7. Como ∠ACB = 90 °, a ² + b ² - c ² = 0, pelo teorema de Pitágoras. Assim, L ₁ + L ₂ = ΔABC.

   Hipócrates conseguiu quadrilhar vários tipos de lunas, alguns em arcos maiores e menores que semicírculos, e ele sugeriu, embora não acreditasse, que seu método pudesse quadrar um círculo inteiro. No final da era clássica, Boécio (c. 470-524), cujas traduções em latim de trechos de Euclides manteriam a luz da geometria piscando por meio milênio, mencionaram que alguém havia realizado a quadratura do círculo. Não se sabe se o gênio desconhecido usou lunas ou algum outro método, pois, por falta de espaço, Boécio não deu a demonstração. Assim, ele transmitiu o desafio da quadratura do círculo, juntamente com fragmentos de geometria aparentemente úteis para realizá-lo. Os europeus mantiveram a infeliz tarefa até o Iluminismo. Finalmente, em 1775, a Academia de Ciências de Paris, cansada da tarefa de detectar as falácias nas muitas soluções submetidas a ela, recusou-se a ter mais alguma coisa a ver com quadrantes circulares.