Seção cônica, também chamada cônica, em geometria, qualquer curva produzida pela interseção de um plano e um cone circular direito. Dependendo do ângulo do plano em relação ao cone, a interseção é um círculo, uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola. Casos especiais (degenerados) de interseção ocorrem quando o avião passa apenas pelo ápice (produzindo um único ponto) ou pelo ápice e outro ponto no cone (produzindo uma linha reta ou duas linhas retas que se cruzam). Veja a figura.
geometria projetiva: seções cônicas projetivas
As seções cônicas s podem ser consideradas seções planas de um cone circular direito (veja a figura). Ao considerar
As descrições básicas, mas não os nomes, das seções cônicas podem ser encontradas em Menaechmus (florescido em 350 aC), um aluno de Platão e Eudoxus de Cnido. Apolônio de Perga (c. 262–190 aC), conhecido como o “Grande Geômetro”, deu o nome às seções cônicas e foi o primeiro a definir os dois ramos da hipérbole (que pressupõem o cone duplo). O tratado de oito volumes de Apolônio sobre as seções cônicas, Conics, é uma das maiores obras científicas do mundo antigo.
Definição analítica
As cônicas também podem ser descritas como curvas planas que são os caminhos (loci) de um ponto em movimento, de modo que a relação entre sua distância de um ponto fixo (o foco) e a distância de uma linha fixa (a directriz) seja uma constante, chamada a excentricidade da curva. Se a excentricidade for zero, a curva é um círculo; se for igual a um, uma parábola; se menor que um, uma elipse; e se maior que um, uma hipérbole. Veja a figura.
Cada seção cônica corresponde ao gráfico de uma equação polinomial de segundo grau da forma Ax 2 + Por 2 + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0, onde x e y são variáveis e A, B, C, D, E e F são coeficientes que dependem da cônica particular. Por uma escolha adequada de eixos de coordenadas, a equação para qualquer cônica pode ser reduzida para uma das três formas r simples: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 ou y 2 = 2px, correspondendo a uma elipse, uma hipérbole e uma parábola, respectivamente. (Uma elipse em que a = b é de fato um círculo.) O uso extensivo de sistemas de coordenadas para a análise algébrica de curvas geométricas se originou com René Descartes (1596-1650). Veja História da geometria: geometria cartesiana.
Origens gregas
O início da história das seções cônicas está associado ao problema de "dobrar o cubo". De acordo com Eratóstenes de Cirene (c. 276–190 aC), o povo de Delos consultou o oráculo de Apolo em busca de ajuda para acabar com uma praga (c. 430 aC) e foi instruído a construir para Apolo um novo altar com o dobro do volume do antigo altar e com a mesma forma cúbica. Perplexos, os Delianos consultaram Platão, que afirmou que “o oráculo significava não que o deus quisesse um altar com o dobro do tamanho, mas que desejava, ao definir a tarefa deles, envergonhar os gregos por sua negligência com a matemática e seu desprezo. para geometria ". Hipócrates de Quíos (c. 470–410 aC) descobriu pela primeira vez que o “problema de Delian” pode ser reduzido para encontrar duas proporções médias entre a e 2a (os volumes dos respectivos altares) - ou seja, determinar x e y de modo que: x = x: y = y: 2a. Isso equivale a resolver simultaneamente quaisquer duas das equações x 2 = ay, y 2 = 2ax e xy = 2a 2, que correspondem a duas parábolas e uma hipérbole, respectivamente. Mais tarde, Arquimedes (c. 290-211 aC) mostrou como usar seções cônicas para dividir uma esfera em dois segmentos com uma determinada proporção.
Diocles (c. 200 aC) demonstrou geometricamente que os raios - por exemplo, do Sol - paralelos ao eixo de um parabolóide de revolução (produzido pela rotação de uma parábola em torno de seu eixo de simetria) se encontram no foco. Dizem que Arquimedes usou essa propriedade para incendiar navios inimigos. As propriedades focais da elipse foram citadas por Anthemius of Tralles, um dos arquitetos da Catedral Hagia Sophia em Constantinopla (concluída em 537 dC), como um meio de garantir que um altar pudesse ser iluminado pela luz do sol durante todo o dia.
