Equação diferencial, declaração matemática contendo um ou mais derivativos - ou seja, termos que representam as taxas de variação de quantidades continuamente variáveis. As equações diferenciais são muito comuns na ciência e na engenharia, bem como em muitos outros campos de estudo quantitativo, porque o que pode ser diretamente observado e medido para sistemas em mudança são as taxas de mudança. A solução de uma equação diferencial é, em geral, uma equação que expressa a dependência funcional de uma variável sobre uma ou mais outras; normalmente contém termos constantes que não estão presentes na equação diferencial original. Outra maneira de dizer isso é que a solução de uma equação diferencial produz uma função que pode ser usada para prever o comportamento do sistema original, pelo menos dentro de certas restrições.
análise: Newton e equações diferenciais
a aplicação da análise são equações diferenciais, que relacionam as taxas de variação de várias quantidades aos seus valores atuais,
As equações diferenciais são classificadas em várias categorias amplas e, por sua vez, são divididas em várias subcategorias. As categorias mais importantes são equações diferenciais ordinárias e equações diferenciais parciais. Quando a função envolvida na equação depende apenas de uma única variável, suas derivadas são derivadas ordinárias e a equação diferencial é classificada como uma equação diferencial ordinária. Por outro lado, se a função depende de várias variáveis independentes, de modo que suas derivadas são derivadas parciais, a equação diferencial é classificada como uma equação diferencial parcial. A seguir, exemplos de equações diferenciais ordinárias:
Nestas, y representa a função e t ou x é a variável independente. Os símbolos k e m são usados aqui para representar constantes específicas.
Qualquer que seja o tipo, diz-se que uma equação diferencial é de enésima ordem, se envolver uma derivada de enésima ordem, mas não é derivada de uma ordem maior que isso. A equação é um exemplo de uma equação diferencial parcial de segunda ordem. As teorias das equações diferenciais ordinárias e parciais são marcadamente diferentes e, por esse motivo, as duas categorias são tratadas separadamente.
Em vez de uma única equação diferencial, o objeto de estudo pode ser um sistema simultâneo de tais equações. A formulação das leis da dinâmica freqüentemente leva a esses sistemas. Em muitos casos, uma única equação diferencial de enésima ordem é vantajosamente substituível por um sistema de n equações simultâneas, cada uma das quais é de primeira ordem, para que as técnicas da álgebra linear possam ser aplicadas.
Uma equação diferencial ordinária na qual, por exemplo, a função e a variável independente são denotadas por yex é, na verdade, um resumo implícito das características essenciais de y em função de x. Essas características provavelmente seriam mais acessíveis à análise se uma fórmula explícita para y pudesse ser produzida. Tal fórmula, ou pelo menos uma equação em xey (que não envolve derivativos) dedutível da equação diferencial, é chamada de solução da equação diferencial. O processo de dedução de uma solução da equação pelas aplicações de álgebra e cálculo é chamado de solução ou integração da equação. Deve-se notar, no entanto, que as equações diferenciais que podem ser explicitamente resolvidas formam uma pequena minoria. Assim, a maioria das funções deve ser estudada por métodos indiretos. Mesmo sua existência deve ser comprovada quando não há possibilidade de produzi-la para inspeção. Na prática, métodos de análise numérica, envolvendo computadores, são empregados para obter soluções aproximadas úteis.
