Hipótese de Continuum, afirmação da teoria dos conjuntos de que o conjunto de números reais (o continuum) é, em certo sentido, o menor possível. Em 1873, o matemático alemão Georg Cantor provou que o continuum é incontável - ou seja, os números reais são um infinito maior que os números contados - um resultado essencial para iniciar a teoria dos conjuntos como um assunto matemático. Além disso, Cantor desenvolveu uma maneira de classificar o tamanho de conjuntos infinitos de acordo com o número de seus elementos ou sua cardinalidade. (Veja a teoria dos conjuntos: cardinalidade e números transfinitos.) Nesses termos, a hipótese do continuum pode ser estabelecida da seguinte maneira: A cardinalidade do continuum é o menor número cardinal incontável.
teoria dos conjuntos: cardinalidade e números transfinitos
uma conjectura conhecida como hipótese do continuum.
Na notação de Cantor, a hipótese do continuum pode ser declarada pela equação simples 2 ℵ 0 = ℵ 1, onde ℵ 0 é o número cardinal de um conjunto contável infinito (como o conjunto de números naturais) e os números cardinais de números maiores “ conjuntos bem ordenados ”são ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, indexado pelos números ordinais. A cardinalidade do continuum pode ser mostrada como 2 ℵ 0; assim, a hipótese do continuum exclui a existência de um conjunto de tamanhos intermediários entre os números naturais e o continuum.
Uma afirmação mais forte é a hipótese do continuum generalizado (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 para cada número ordinal α. O matemático polonês Wacław Sierpiński provou que com o GCH é possível derivar o axioma da escolha.
Como no axioma da escolha, o matemático americano austríaco Kurt Gödel provou em 1939 que, se os outros axiomas padrão de Zermelo-Fraenkel (ZF; ver o
tabela) são consistentes, então eles não refutam a hipótese do continuum ou mesmo o GCH. Ou seja, o resultado da adição de GCH aos outros axiomas permanece consistente. Então, em 1963, o matemático americano Paul Cohen completou o quadro mostrando, novamente sob a suposição de que ZF é consistente, que ZF não produz uma prova da hipótese do continuum.
Como ZF não prova nem desaprova a hipótese do continuum, resta a questão de aceitar ou não a hipótese do continuum com base em um conceito informal do que são conjuntos. A resposta geral na comunidade matemática foi negativa: a hipótese do continuum é uma afirmação limitadora em um contexto em que não há razão conhecida para impor um limite. Na teoria dos conjuntos, a operação do conjunto de potência atribui a cada conjunto de cardinalidade ℵ α seu conjunto de todos os subconjuntos, que tem cardinalidade 2 ℵ α. Parece não haver razão para impor um limite à variedade de subconjuntos que um conjunto infinito possa ter.
