Lógica formal

Quadros semânticos

Desde a década de 1980, outra técnica para determinar a validade dos argumentos no PC ou no LPC ganhou popularidade devido à facilidade de aprendizado e à implementação direta por programas de computador. Originalmente sugerido pelo lógico holandês Evert W. Beth, foi mais amplamente desenvolvido e divulgado pelo matemático e lógico americano Raymond M. Smullyan. Baseando-se na observação de que é impossível que as premissas de um argumento válido sejam verdadeiras enquanto a conclusão é falsa, esse método tenta interpretar (ou avaliar) as premissas de tal maneira que elas sejam simultaneamente satisfeitas e negadas. conclusão também é satisfeita. O sucesso de tal esforço mostraria o argumento inválido, enquanto a falha em encontrar tal interpretação mostraria que ele era válido.

A construção de um quadro semântico procede da seguinte maneira: expressar as premissas e negação da conclusão de um argumento no PC usando apenas negação (∼) e disjunção (∨) como conectivos proposicionais. Elimine toda ocorrência de dois sinais de negação em uma sequência (por exemplo, becomesa se torna ∼a). Agora construa um diagrama em árvore que se ramifique para baixo, de modo que cada disjunção seja substituída por duas ramificações, uma para a disjunção esquerda e outra para a direita. A disjunção original é verdadeira se um dos ramos for verdadeiro. A referência às leis de De Morgan mostra que uma negação de uma disjunção é verdadeira caso as negações de ambas as disjunções sejam verdadeiras [ie, ie (p ∨ q) ≡ (·p · ∼q)]. Essa observação semântica leva à regra de que a negação de uma disjunção se torna um ramo que contém a negação de cada disjunção:

Considere o seguinte argumento:

Escreva:

Agora elimine a disjunção e forme dois ramos:

Somente se todas as sentenças em pelo menos um ramo forem verdadeiras, é possível que as premissas originais sejam verdadeiras e a conclusão falsa (equivalente à negação da conclusão). Ao traçar a linha para cima em cada ramo até o topo da árvore, observa-se que nenhuma avaliação de a no ramo esquerdo resultará em todas as sentenças nesse ramo que receberão o valor verdadeiro (devido à presença de a e ∼a). Da mesma forma, no ramo direito, a presença de bec torna impossível para uma avaliação resultar em todas as sentenças do ramo que recebem o valor verdadeiro. Esses são todos os ramos possíveis; assim, é impossível encontrar uma situação em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. O argumento original é, portanto, válido.

Essa técnica pode ser estendida para lidar com outros conectivos:

Além disso, no LPC, regras para instanciar wffs quantificados precisam ser introduzidas. Claramente, qualquer ramificação contendo ambos (∀x) ϕx e ∼ϕy é aquela em que nem todas as sentenças nesse ramo podem ser satisfeitas simultaneamente (sob a suposição de consistência de ω; veja metalógica). Novamente, se todas as ramificações falharem em serem simultaneamente satisfatórias, o argumento original é válido.

Sistemas especiais de LPC

O LPC, conforme exposto acima, pode ser modificado restringindo ou estendendo o intervalo de wffs de várias maneiras:

• Sistemas 1.Partial de LPC. Alguns dos sistemas mais importantes produzidos por restrição são aqui descritos:

  • a.Pode ser exigido que toda variável de predicado seja monádica e, ao mesmo tempo, permita um número infinito de variáveis ​​individuais e de predicado. Os wffs atômicos são então simplesmente aqueles que consistem em uma variável predicada seguida por uma única variável individual. Caso contrário, as regras de formação permanecem como antes, e a definição de validade também é como antes, embora simplificada de maneiras óbvias. Este sistema é conhecido como LPC monádico; fornece uma lógica de propriedades, mas não de relações. Uma característica importante desse sistema é que ele é decidível. (A introdução de até mesmo uma única variável predicada diádica, no entanto, tornaria o sistema indecidível e, de fato, mesmo o sistema que contém apenas uma única variável predicada diádica e nenhuma outra variável predicada se mostrou indecidível.)

  • bUm sistema ainda mais simples pode ser formado exigindo (1) que todas as variáveis ​​predicadas sejam monádicas, (2) que apenas uma única variável individual (por exemplo, x) seja usada, (3) que todas as ocorrências dessa variável sejam ligadas e (4) que nenhum quantificador ocorra dentro do escopo de qualquer outro. Exemplos de wffs deste sistema são (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] (“O que quer que seja ϕ é ψ e χ”); (∃x) (·x · ∼ψx) (“Existe algo que é ϕ mas não ψ”); e (∀x) (ϕx ⊃x) ⊃ (∃x) (·x · ψx) (“Se o que é ϕ é ψ, então algo é ϕ e ψ”). A notação para esse sistema pode ser simplificada, omitindo x em todos os lugares e escrevendo ∃ϕ para “Algo é ϕ”, ∀ (ϕ ⊃ ψ) para “O que é ϕ é ψ” e assim por diante. Embora esse sistema seja mais rudimentar do que o LPC monádico (do qual é um fragmento), nele podem ser representadas as formas de uma ampla gama de inferências. É também um sistema decidível, e procedimentos de decisão de um tipo elementar podem ser dados para ele.

• 2.Extensões de LPC. Sistemas mais elaborados, nos quais uma maior variedade de proposições pode ser expressa, foram construídos adicionando ao LPC novos símbolos de vários tipos. As mais simples dessas adições são:

  • a.Uma ou mais constantes individuais (digamos, a, b,

    ): essas constantes são interpretadas como nomes de indivíduos específicos; formalmente, eles se distinguem das variáveis ​​individuais pelo fato de não poderem ocorrer dentro dos quantificadores; por exemplo, (∀x) é um quantificador, mas (∀a) não é.

  • b.Uma ou mais constantes de predicado (digamos, A, B,

    ), cada um de algum grau especificado, considerado como designando propriedades ou relações específicas.

Uma outra adição possível, que exige uma explicação um pouco mais completa, consiste em símbolos projetados para representar funções. A noção de uma função pode ser suficientemente explicada para os propósitos atuais da seguinte maneira. Diz-se que existe uma certa função de n argumentos (ou, de grau n) quando existe uma regra que especifica um objeto exclusivo (chamado de valor da função) sempre que todos os argumentos são especificados. No domínio dos seres humanos, por exemplo, “a mãe de -” é uma função monádica (função de um argumento), pois para todo ser humano existe um indivíduo único que é sua mãe; e no domínio dos números naturais (ou seja, 0, 1, 2,

), "A soma de - e -" é uma função de dois argumentos, pois para qualquer par de números naturais existe um número natural que é sua soma. Um símbolo de função pode ser pensado como formando um nome com outros nomes (seus argumentos); portanto, sempre que x e y nomeiam números, “a soma de x e y” também nomeia um número e da mesma forma para outros tipos de funções e argumentos.

Para permitir que funções sejam expressas em LPC, podem ser adicionados:

• c.Uma ou mais variáveis ​​de função (digamos, f, g,

  ) ou uma ou mais constantes de função (por exemplo, F, G,

  ) ou ambos, cada um de algum grau especificado. Os primeiros são interpretados como abrangendo funções dos graus especificados e os segundos como designando funções específicas desse grau.

Quando qualquer um ou todos os a – c são adicionados ao LPC, as regras de formação listadas no primeiro parágrafo da seção sobre o cálculo do predicado inferior (veja acima O cálculo do predicado inferior) precisam ser modificadas para permitir que os novos símbolos sejam incorporados wffs. Isso pode ser feito da seguinte maneira: Um termo é definido primeiro como (1) uma variável individual ou (2) uma constante individual ou (3) qualquer expressão formada prefixando uma variável de função ou constante de função do grau n para quaisquer n termos (esses termos - os argumentos do símbolo da função - geralmente são separados por vírgulas e entre parênteses). A regra de formação 1 é substituída por:

• 1′.Uma expressão que consiste em uma variável predicada ou constante predicada de grau n seguida por n termos é um wff.

A base axiomática dada na seção sobre axiomatização de LPC (veja acima Axiomatization of LPC) também requer a seguinte modificação: no esquema de axioma 2, qualquer termo pode substituir a quando β é formado, desde que nenhuma variável que esteja livre no termo fica ligado em β. Os exemplos a seguir ilustrarão o uso das adições acima mencionadas ao LPC: deixe que os valores das variáveis ​​individuais sejam os números naturais; deixe que as constantes individuais aeb representem os números 2 e 3, respectivamente; deixe A significa "é primo"; e deixe F representar a função diádica "a soma de". Então AF (a, b) expressa a proposição “A soma de 2 e 3 é primo” e (∃x) AF (x, a) expressa a proposição “Existe um número tal que a soma dele e 2 é primo. ”

A introdução de constantes é normalmente acompanhada pela adição à base axiomática de axiomas especiais contendo essas constantes, projetadas para expressar princípios que retêm os objetos, propriedades, relações ou funções representadas por eles - embora eles não retenham objetos, propriedades., relações ou funções em geral. Pode-se decidir, por exemplo, usar a constante A para representar a relação diádica "é maior que" (de modo que Axy signifique "x é maior que y" e assim por diante). Essa relação, ao contrário de muitas outras, é transitiva; isto é, se um objeto é maior que um segundo e esse segundo é maior que um terço, então o primeiro é maior que o terceiro. Portanto, o seguinte esquema de axioma especial pode ser adicionado: se t ₁, t ₂ e t ₃ são quaisquer termos, então (Em ₁ t ₂ · Em ₂ t ₃) ⊃ Em ₁ t ₃ é um axioma. Por esse meio, os sistemas podem ser construídos para expressar as estruturas lógicas de várias disciplinas particulares. A área em que a maioria dos trabalhos desse tipo foi realizada é a aritmética de número natural.

Às vezes, PC e LPC são combinados em um único sistema. Isso pode ser feito simplesmente adicionando variáveis ​​proposicionais à lista de primitivas LPC, adicionando uma regra de formação ao efeito de que uma variável proposicional independente é uma wff e excluindo "LPC" no esquema de axioma 1. Isso gera como wffs essas expressões como (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx e (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC com identidade. A palavra "é" nem sempre é usada da mesma maneira. Em uma proposição como (1) “Sócrates é irritado”, a expressão que precede o “é” nomeia um indivíduo e a expressão a seguir representa uma propriedade atribuída a esse indivíduo. Mas, em uma proposição como (2) “Sócrates é o filósofo ateniense que bebeu cicuta”, as expressões que precedem e seguem o “são” são nomes de indivíduos, e o sentido de toda a proposição é que o indivíduo nomeado pelo primeiro é o mesmo indivíduo que o indivíduo nomeado pelo segundo. Assim, em 2 "é" pode ser expandido para "é o mesmo indivíduo que", enquanto em 1 não pode. Conforme usado em 2, “é” representa uma relação diádica - a identidade - que a proposição afirma manter entre os dois indivíduos. Uma proposição de identidade deve ser entendida neste contexto como afirmando não mais do que isso; em particular, não se deve considerar que as duas expressões de nomeação têm o mesmo significado. Um exemplo muito discutido para ilustrar esse último ponto é "A estrela da manhã é a estrela da tarde". É falso que as expressões “a estrela da manhã” e “a estrela da tarde” tenham o mesmo significado, mas é verdade que o objeto referido pelo primeiro é o mesmo que o referido pelo último (o planeta Vênus).

Para permitir que as formas de proposições de identidade sejam expressas, uma constante de predicado diádico é adicionada ao LPC, para a qual a notação mais usual é = (escrita entre, e não antes, seus argumentos). A interpretação pretendida de x = y é que x é o mesmo indivíduo que y, e a leitura mais conveniente é "x é idêntico a y". Sua negação ∼ (x = y) é comumente abreviada como x ≠ y. À definição de um modelo LPC dado anteriormente (veja Validade acima em LPC), foi adicionada a regra (que concorda de maneira óbvia com a interpretação pretendida) de que o valor de x = y deve ser 1 se o mesmo membro de D é atribuído a ambos xe y e, caso contrário, seu valor deve ser 0; a validade pode então ser definida como antes. As adições a seguir (ou algumas equivalentes) são feitas na base axiomática do LPC: o axioma x = x e o esquema axioma que, onde aeb são quaisquer variáveis ​​individuais e α e β são wffs que diferem apenas nisso, em um ou mais locais onde α tem uma ocorrência livre de a, β tem uma ocorrência livre de b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) é um axioma. Esse sistema é conhecido como cálculo de predicado inferior com identidade; é claro que pode ser aumentado ainda mais das outras maneiras mencionadas acima em “Extensões de LPC”, caso em que qualquer termo pode ser um argumento de =.

Identidade é uma relação de equivalência; isto é, é reflexivo, simétrico e transitivo. Sua reflexividade é expressa diretamente no axioma x = x, e os teoremas que expressam sua simetria e transitividade podem ser facilmente derivados da base dada.

Certas wffs de LPC com identidade expressam proposições sobre o número de coisas que possuem uma determinada propriedade. “Pelo menos uma coisa é ϕ” poderia, é claro, já ser expressa por (∃x) ϕx; “Pelo menos duas coisas distintas (não idênticas) são ϕ” agora podem ser expressas por (∃x) (∃y) (·x · ϕy · x ≠ y); e a sequência pode ser continuada de uma maneira óbvia. “No máximo uma coisa é ϕ” (ou seja, “duas coisas distintas são ambas both”) pode ser expressa pela negação do último wff mencionado ou por seu equivalente, (∀x) (∀y) [(·x · ϕy) ⊃ x = y], e a sequência pode ser facilmente continuada novamente. Uma fórmula para “Exatamente uma coisa é ϕ” pode ser obtida combinando as fórmulas para “Pelo menos uma coisa é ϕ” e “No máximo uma coisa é ϕ”, mas um wff mais simples equivalente a essa conjunção é (∃x) [·x · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], que significa “Há algo que é ϕ, e qualquer coisa que é ϕ é essa coisa”. A proposição “exatamente duas coisas são ϕ” pode ser representada por (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; ou seja, "Existem duas coisas não-identificadas, cada uma das quais é ϕ, e qualquer coisa que seja ϕ é uma ou a outra." Claramente, essa sequência também pode ser estendida para fornecer uma fórmula para “Exatamente n coisas são ϕ” para todo número natural n. É conveniente abreviar o wff para “Exatamente uma coisa é ϕ” para (∃! X) ϕx. Esse quantificador especial é frequentemente lido em voz alta como "E-Shriek x".

Descrições definidas

Quando uma determinada propriedade ϕ pertence a um e apenas um objeto, é conveniente ter uma expressão que nomeie esse objeto. Uma notação comum para esse fim é (ιx) ϕx, que pode ser lida como “a coisa que é ϕ” ou, mais brevemente, como “a ϕ”. Em geral, onde a é qualquer variável individual e α é qualquer wff, (ιa) α representa o valor único de a que torna α verdadeiro. Uma expressão da forma "o tal ou tal" é chamada de descrição definida; e (ιx), conhecido como operador de descrição, pode ser considerado como formando um nome de um indivíduo a partir de uma forma de proposição. (ιx) é análogo a um quantificador, pois, quando prefixado a um wff α, liga todas as ocorrências livres de x em α. Relettering de variáveis ​​vinculadas também é permitido; no caso mais simples, (ιx) ϕx e (ιy) ϕy podem ser lidos simplesmente como “o ϕ”.

No que diz respeito às regras de formação, descrições definidas podem ser incorporadas ao LPC, permitindo que expressões da forma (ιa) α sejam contadas como termos; a regra 1 'acima, em “Extensões de LPC”, permitirá que elas ocorram em fórmulas atômicas (incluindo fórmulas de identidade). “O ϕ é (ou seja, possui a propriedade) ψ” pode ser expresso como ψ (ιx) ϕx; “Y é (o mesmo indivíduo) que ϕ” como y = (ιx) ϕx; “O ϕ é (o mesmo indivíduo que) o ψ” como (ιx) ϕx = (ιy) ψy; e assim por diante.

A análise correta de proposições contendo descrições definidas tem sido objeto de considerável controvérsia filosófica. Um relato amplamente aceito, no entanto - substancialmente o apresentado em Principia Mathematica e conhecido como teoria das descrições de Russell - sustenta que “O ϕ é ψ” deve ser entendido como significando que exatamente uma coisa é that e essa coisa também é ψ. Nesse caso, ele pode ser expresso por um wff de LPC com identidade que não contém operadores de descrição - ou seja, (1) (x) [xx (xy) (xy x = y) xx]. Analogamente, “y é ϕ” é analisado como “y é ϕ e nada mais é ϕ” e, portanto, é expressável por (2) yy (zx) (xx x = y). “O ϕ é o ψ” é analisado como “Exatamente uma coisa é ϕ, exatamente uma coisa é ψ e o que quer que seja ϕ é ψ” e, portanto, é expressável por (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx e (ιx) ϕx = (ιy) ψy podem então ser considerados abreviações para (1), (2) e (3), respectivamente; e generalizando para casos mais complexos, todos os wffs que contêm operadores de descrição podem ser considerados abreviações para wffs mais longos que não.

A análise que leva a (1) como uma fórmula para “O ϕ é ψ” leva ao seguinte para “O ϕ não é ψ”: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · x]. É importante notar que (4) não é a negação de (1); essa negação é, em vez disso, (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. A diferença de significado entre (4) e (5) reside no fato de que (4) é verdadeiro apenas quando existe exatamente uma coisa que é ϕ e essa coisa não é ψ, mas (5) é verdade tanto neste caso quanto em também quando nada é and e quando mais de uma coisa é ϕ. Negligenciar a distinção entre (4) e (5) pode resultar em séria confusão de pensamento; no discurso comum, freqüentemente não está claro se alguém que nega que the é ψ está admitindo que exatamente uma coisa é ϕ, mas negando que é ψ ou negando que exatamente uma coisa é ϕ.

A afirmação básica da teoria das descrições de Russell é que uma proposição que contém uma descrição definida não deve ser considerada uma afirmação sobre um objeto cujo nome é essa descrição, mas sim uma afirmação existencialmente quantificada de que uma determinada propriedade (bastante complexa) tem uma instância. Formalmente, isso se reflete nas regras para eliminar os operadores de descrição descritos acima.