Matemático grego de Diophantus

Diofante, sob o nome de Diofante de Alexandria, (floresceu c. Ce 250), matemático grego, famoso por seu trabalho em álgebra.

teoria dos números: Diofante

Dos matemáticos gregos posteriores, especialmente digno de nota é Diofanto de Alexandria (floresceu em 250), autor

O pouco que se sabe da vida de Diofante é circunstancial. A partir da denominação "de Alexandria", parece que ele trabalhou no principal centro científico do mundo grego antigo; e porque ele não é mencionado antes do século IV, parece provável que ele tenha florescido durante o século III. Um epigrama aritmético da Anthologia Graeca da antiguidade tardia, supostamente para refazer alguns marcos de sua vida (casamento aos 33 anos, nascimento de seu filho aos 38 anos, morte de seu filho quatro anos antes do seu aos 84), pode muito bem ser inventado. Dois trabalhos chegaram até nós em seu nome, ambos incompletos. O primeiro é um pequeno fragmento de números poligonais (um número é poligonal se esse mesmo número de pontos puder ser organizado na forma de um polígono regular). O segundo, um grande e extremamente influente tratado sobre o qual repousa toda a fama antiga e moderna de Diofante, é sua Aritmética. Sua importância histórica é dupla: é o primeiro trabalho conhecido a empregar álgebra em um estilo moderno e inspirou o renascimento da teoria dos números.

A Aritmética começa com uma introdução dirigida a Dionísio - provavelmente São Dionísio de Alexandria. Depois de algumas generalidades sobre números, Diofante explica seu simbolismo - ele usa símbolos para o desconhecido (correspondente ao nosso x) e seus poderes, positivos ou negativos, bem como para algumas operações aritméticas - a maioria desses símbolos é claramente uma abreviatura de escriba. Esta é a primeira e única ocorrência de simbolismo algébrico antes do século XV. Depois de ensinar a multiplicação dos poderes do desconhecido, Diofante explica a multiplicação de termos positivos e negativos e, em seguida, como reduzir uma equação para uma com apenas termos positivos (a forma padrão preferida na antiguidade). Com essas preliminares fora do caminho, Diofante segue para os problemas. De fato, a Aritmética é essencialmente uma coleção de problemas com soluções, cerca de 260 na parte ainda existente.

A introdução também afirma que o trabalho está dividido em 13 livros. Seis desses livros eram conhecidos na Europa no final do século XV, transmitidos em grego por estudiosos bizantinos e numerados de I a VI; outros quatro livros foram descobertos em 1968 em uma tradução árabe do século IX por Qusṭā ibn Lūqā. No entanto, o texto em árabe carece de simbolismo matemático, e parece basear-se em um comentário grego posterior - talvez o de Hypatia (c. 370-415) - que diluiu a exposição de Diofante. Agora sabemos que a numeração dos livros gregos deve ser modificada: a aritmética consiste nos livros I a III em grego, livros IV a VII em árabe e, presumivelmente, livros VIII a X em grego (os antigos livros gregos IV a VI).) Renumeração adicional é improvável; é bastante certo que os bizantinos só conheciam os seis livros que transmitiram e os árabes não mais do que os livros I a VII na versão comentada.

Os problemas do Livro I não são característicos, sendo principalmente problemas simples usados ​​para ilustrar o cálculo algébrico. As características distintivas dos problemas de Diofante aparecem nos livros posteriores: são indeterminadas (com mais de uma solução), são de segundo grau ou são redutíveis para o segundo grau (a maior potência em termos variáveis ​​é 2, ou seja, x ²) e termine com a determinação de um valor racional positivo para o desconhecido que tornará uma determinada expressão algébrica um quadrado numérico ou, às vezes, um cubo. (Em todo o seu livro, Diofante usa "número" para se referir ao que hoje é chamado de números racionais positivos; portanto, um número quadrado é o quadrado de algum número racional positivo.) Os livros II e III também ensinam métodos gerais. Nos três problemas do Livro II, é explicado como representar: (1) qualquer número quadrado dado como uma soma dos quadrados de dois números racionais; (2) qualquer número não quadrado dado, que é a soma de dois quadrados conhecidos, como a soma de dois outros quadrados; e (3) qualquer número racional dado como a diferença de dois quadrados. Enquanto o primeiro e o terceiro problemas são geralmente declarados, o conhecimento assumido de uma solução no segundo problema sugere que nem todo número racional é a soma de dois quadrados. Diofante mais tarde fornece a condição para um número inteiro: o número fornecido não deve conter nenhum fator primo da forma 4n + 3 elevado a uma potência ímpar, onde n é um número inteiro não negativo. Tais exemplos motivaram o renascimento da teoria dos números. Embora Diofante esteja normalmente satisfeito em obter uma solução para um problema, ele ocasionalmente menciona nos problemas que existe um número infinito de soluções.

Nos livros IV a VII, Diofante estende métodos básicos, como os descritos acima, a problemas de graus mais altos que podem ser reduzidos a uma equação binomial de primeiro ou segundo grau. Os prefácios desses livros afirmam que seu objetivo é fornecer ao leitor "experiência e habilidade". Embora essa descoberta recente não aumente o conhecimento da matemática de Diofanto, ela altera a avaliação de sua capacidade pedagógica. Os livros VIII e IX (presumivelmente livros gregos IV e V) resolvem problemas mais difíceis, mesmo que os métodos básicos permaneçam os mesmos. Por exemplo, um problema envolve decompor um número inteiro na soma de dois quadrados arbitrariamente próximos um do outro. Um problema semelhante envolve decompor um número inteiro na soma de três quadrados; nele, Diofante exclui o caso impossível de números inteiros da forma 8n + 7 (novamente, n é um número inteiro não negativo). O livro X (presumivelmente livro grego VI) lida com triângulos retângulos com lados racionais e sujeito a várias condições adicionais.

O conteúdo dos três livros ausentes da Aritmética pode ser suposto a partir da introdução, onde, depois de dizer que a redução de um problema deveria "se possível" concluir com uma equação binomial, Diofanto acrescenta que "mais tarde" tratará o caso de uma equação trinomial - uma promessa não cumprida na parte existente.

Embora ele tivesse poucas ferramentas algébricas à sua disposição, Diofanto conseguiu resolver uma grande variedade de problemas, e a Aritmética inspirou matemáticos árabes como al-Karajī (c. 980-1030) a aplicar seus métodos. A extensão mais famosa do trabalho de Diofante foi por Pierre de Fermat (1601–65), o fundador da moderna teoria dos números. Nas margens de sua cópia da Aritmética, Fermat escreveu várias observações, propondo novas soluções, correções e generalizações dos métodos de Diofanto, bem como algumas conjecturas como o último teorema de Fermat, que ocupou matemáticos por gerações vindouras. Equações indeterminadas restritas a soluções integrais passaram a ser conhecidas, embora inadequadamente, como equações diofantinas.